\documentclass{article}

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%-----------------------------------------------------------
\newcommand{\einzelabgabe}[2]{
\sf \large
#1,  \"Ubungsgruppe: #2 \mbox{} \hfill SoSe 2021
\vspace{15mm}

{\bfseries \LARGE
\centerline{\"Ubungen zur Theoretischen Physik II} 
}
\vspace{10mm}
}

%-----------------------------------------------------------
\newcommand{\zweiergruppe}[3]{
\sf \large
#1,  #2, \"Ubungsgruppe: #3 \mbox{} \hfill SoSe 2021
\vspace{15mm}

{\bfseries \LARGE
\centerline{\"Ubungen zur Theoretischen Physik II} 
}
\vspace{10mm}
}

%-----------------------------------------------------------
\newcommand{\aufgabe}[1]{
{\sf \large \bfseries L\"osung Aufgabe #1}
}

\input{makros.tex}

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%-----------------------------------------------------------------------
%-----------------------------------------------------------------------
\begin{document}

% Hier bitte Name(n) und \"Ubungsgruppe angeben!

%\einzelabgabe{Monika Musterfrau}{A}
\zweiergruppe{Lisa Simpson}{Peter Pan}{B}

\aufgabe{1}

Zur Bestimmung des Werts von $\hbar \equiv h / 2\pi$ setzen wir in weiser Voraussicht an
\ba
\hbar = R \cdot 1.0545718 \cdot 10^{-34} \frac{\sf m^{2} kg}{\sf s}
\ea
mit einer noch unbekannten Proportionalit\"atskonstante $R$. 
Zur Berechnung von $R$ bestimmen wir zun\"achst das Integral der Gau{\ss}funktion \"uber die reelle Achse, 
\ba
  I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2} dx = \sqrt{2\pi} \: , 
\ea
um einen sinnvollen Startpunkt zu haben. 
\\

Das Ergebnis kann in der Tat benutzt werden, um den Umfang $U$ des Einheitskreises auszudr\"ucken:
\ba
  U = 2 \pi = I^{2} \quad \mbox{also:} \quad \frac{U}{I} = I \: .
\ea

Andererseits gilt das Ohmsche Gesetz: 
\ba
U = R I 
\nonumber 
\\[3mm]
\Rightarrow \frac{U}{I} = R\: .
\ea

Zusammen bedeutet das (mit der n\"otigen Sorgfalt in der Notation) $R = I = \ff 1 = 1$.
Also folgt insgesamt:
\ba
\hbar = 1.0545718 \cdot 10^{-34} \frac{\sf m^{2} kg}{\sf s} \: .
\ea

%-----------------------------------------------------------

\aufgabe{2}

Es war nicht m\"oglich, die Aufgabe mit der obigen Technik zu l\"osen.

\end{document}

